论文2023/1959

关于数字$2^n-1$的进位概念和Scholz猜想

摘要

通过对形如$2^n-1$的数字的因子应用“坑洼方法”，我们证明了如果$2^n-1$的进位度不超过$$\kappa(2^n-1)=\frac{1}{2(1+c)}\lfloor \frac{\log n}{\log 2}\rfloor-1$$对于固定的$c>0$，则不等式$$\iota(2^n-1)\leq n-1+(1+\frac{1}{1+c})\lfloor\frac{\log n}{\log 2}\rfloor$$对于所有$n\in \mathbb{N}$且$n\geq 4$成立，其中$\iota(\cdot)$表示产生$\cdot$的最短加法链的长度。一般来说，我们证明了对于所有形如$2^n-1$的数字，如果其进位度为$$\kappa(2^n-1):=(\frac{1}{1+f(n)})\lfloor \frac{\log n}{\log 2}\rfloor-1$$其中$f(n)=o(\log n)$且$f(n)\longrightarrow \infty$当$n\longrightarrow \infty$时对于$n\geq 4$，则不等式$$\iota(2^n-1)\leq n-1+(1+\frac{2}{1+f(n)})\lfloor\frac{\log n}{\log 2}\rfloor$$成立。

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@misc{cryptoeprint:2023/1959,
      author = {Theophilus Agama},
      title = {关于数字 $2^n-1$ 的进位概念和 Scholz 猜想},
      howpublished = {Cryptology ePrint Archive, Paper 2023/1959},
      year = {2023},
      note = {\url{https://eprint.iacr.org/2023/1959}},
      url = {https://eprint.iacr.org/2023/1959}
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